図形の面積の最大値（B）

曲線上の頂点を $(t,\,e^{-t^2})\ (t>0)$ とすると，長方形の面積は \[ S(t)=2t\cdot e^{-t^2} \] $S'(t)=2e^{-t^2}+2t\cdot(-2t)e^{-t^2}=2(1-2t^2)e^{-t^2}$ $t>0$ で $S'(t)=0$ となるのは $t=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ で，その前後で $S'(t)$ は正から負に変わる． よって，最大値は $S\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=\sqrt{2}\,e^{-\frac{1}{2}}=\sqrt{\dfrac{2}{e}}$