図形の面積の最大値（A）

円の中心を O とし，A から BC に下ろした垂線の足を H とする．$\angle\mathrm{AOB}=\pi-\theta\ (0<\theta<\pi)$ とおく（$0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ のときは，下図のように $\theta=\angle\mathrm{BOH}$ である）．H は直線 AO 上にあり，$\mathrm{BH}=\sin(\pi-\theta)=\sin\theta$ である．また，H が O に関して A と反対側にあるとき（$0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$）は $\mathrm{AH}=1+\mathrm{OH}=1+\cos\theta$，H が線分 OA 上にあるとき（$\dfrac{\pi}{2}\leqq\theta<\pi$）は $\mathrm{AH}=1-\mathrm{OH}=1-\cos(\pi-\theta)=1+\cos\theta$ であるから \[ \mathrm{BH}=\sin\theta,\qquad \mathrm{AH}=1+\cos\theta \] 面積は $S(\theta)=\dfrac{1}{2}\cdot 2\sin\theta\cdot(1+\cos\theta)=\sin\theta(1+\cos\theta)$ \[ S'(\theta)=\cos\theta(1+\cos\theta)-\sin^2\theta=2\cos^2\theta+\cos\theta-1=(2\cos\theta-1)(\cos\theta+1) \] $0<\theta<\pi$ で $\cos\theta+1>0$ であるから，$S'(\theta)=0$ となるのは $\theta=\dfrac{\pi}{3}$ のときで，その前後で $S'$ は正から負に変わる． よって，最大値は $S\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{3}{2}=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$（正三角形のとき）