定数 a の位置で場合分けする最大・最小（B）

$a=0$ のとき $f(x)=b$ は定数で，条件を満たさない．よって $a\neq 0$ $g(x)=\dfrac{x}{x^2+1}$ とおくと $g'(x)=\dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$ であるから，$g(x)$ の増減表は次のようになる． \[ \begin{array}{c|ccccc} x & \cdots & -1 & \cdots & 1 & \cdots \\ \hline g'(x) & - & 0 & + & 0 & - \\ \hline g(x) & \searrow & -\frac{1}{2} & \nearrow & \frac{1}{2} & \searrow \end{array} \] また，$\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}g(x)=0$ であるから，$g(x)$ は $x=1$ で最大値 $\dfrac{1}{2}$，$x=-1$ で最小値 $-\dfrac{1}{2}$ をとる． [1] $a>0$ のとき，最大値 $\dfrac{a}{2}+b=3$，最小値 $-\dfrac{a}{2}+b=-1$．これを解いて $a=4$，$b=1$ [2] $a<0$ のとき，最大値 $-\dfrac{a}{2}+b=3$，最小値 $\dfrac{a}{2}+b=-1$．これを解いて $a=-4$，$b=1$ よって $(a,\,b)=(4,\,1),\ (-4,\,1)$