定数 a の位置で場合分けする最大・最小（A）

$f'(x)=e^x+(x-a)e^x=(x-a+1)e^x$ であるから，$f(x)$ は $x\leqq a-1$ で減少し，$x\geqq a-1$ で増加する． [1] $a-1<0$ すなわち $a<1$ のとき，$0\leqq x\leqq 2$ で増加するから，最小値は $f(0)=-a$．$-a=-e$ より $a=e$ となり，$a<1$ に反する． [2] $0\leqq a-1\leqq 2$ すなわち $1\leqq a\leqq 3$ のとき，最小値は $f(a-1)=-e^{a-1}$．$-e^{a-1}=-e$ より $a=2$．これは $1\leqq a\leqq 3$ を満たす． [3] $a-1>2$ すなわち $a>3$ のとき，減少するから最小値は $f(2)=(2-a)e^2$．$(2-a)e^2=-e$ より $a=2+\dfrac{1}{e}$ となり，$a>3$ に反する． 以上から $a=2$