おき換えて3次関数の最大・最小に帰着する（A）

(1) $t^2=1+2\sin x\cos x$ より $\sin x\cos x=\dfrac{t^2-1}{2}$ \[ f(x)=(\sin x+\cos x)^3-3\sin x\cos x(\sin x+\cos x)=t^3-\frac{3(t^2-1)}{2}t=\frac{-t^3+3t}{2} \] $t=\sqrt{2}\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)$ で，$0\leqq x\leqq 2\pi$ より $\dfrac{\pi}{4}\leqq x+\dfrac{\pi}{4}\leqq\dfrac{9}{4}\pi$ であるから $-\sqrt{2}\leqq t\leqq\sqrt{2}$ (2) $g(t)=\dfrac{-t^3+3t}{2}$ とおくと $g'(t)=\dfrac{3(1-t^2)}{2}$ \[ \begin{array}{c|ccccccc} t & -\sqrt{2} & \cdots & -1 & \cdots & 1 & \cdots & \sqrt{2} \\ \hline g'(t) & & - & 0 & + & 0 & - & \\ \hline g(t) & -\frac{\sqrt{2}}{2} & \searrow & -1 & \nearrow & 1 & \searrow & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array} \] よって，最大値 $1$，最小値 $-1$ $t=1$ のとき $\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ より $x=0,\ \dfrac{\pi}{2},\ 2\pi$ $t=-1$ のとき $\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ より $x=\pi,\ \dfrac{3}{2}\pi$