区間の端と極値を比べる最大・最小（B）

$f'(x)=1-\dfrac{1}{x}=\dfrac{x-1}{x}$ \[ \begin{array}{c|ccccc} x & \frac{1}{e} & \cdots & 1 & \cdots & e \\ \hline f'(x) & & - & 0 & + & \\ \hline f(x) & \frac{1}{e}+1 & \searrow & 1 & \nearrow & e-1 \end{array} \] $(e-1)-\left(\dfrac{1}{e}+1\right)=e-\dfrac{1}{e}-2=\dfrac{e^2-2e-1}{e}$ で，$e^2-2e-1=(e-1)^2-2>0$（$e-1>1.7$ より）であるから $e-1>\dfrac{1}{e}+1$ よって，最大値 $e-1$（$x=e$），最小値 $1$（$x=1$）