極値の条件から定数の値を定める（B）

$f'(x)=(2x+a)e^{-x}-(x^2+ax+b)e^{-x}=\{-x^2+(2-a)x+a-b\}e^{-x}$ $f(1)=0$，$f'(1)=0$ であるから \[ (1+a+b)e^{-1}=0,\qquad (-1+2-a+a-b)e^{-1}=(1-b)e^{-1}=0 \] よって $b=1$，$a=-2$ このとき $f(x)=(x-1)^2e^{-x}$，$f'(x)=-(x-1)(x-3)e^{-x}$ である．$f'(x)$ は $x=1$ の前後で負から正に変わるから，$x=1$ で極小値 $0$ をとる．