極値の条件から定数の値を定める（A）

$f'(x)=\dfrac{a(x^2+1)-(ax+b)\cdot 2x}{(x^2+1)^2}=\dfrac{-ax^2-2bx+a}{(x^2+1)^2}$ $x=1$ で極大値 $1$ をとるならば $f'(1)=0$，$f(1)=1$ であるから \[ \frac{-2b}{4}=0,\qquad \frac{a+b}{2}=1 \] よって $b=0$，$a=2$ 逆にこのとき $f(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}$，$f'(x)=\dfrac{-2(x+1)(x-1)}{(x^2+1)^2}$ で，$f'(x)$ は $x=1$ の前後で正から負に変わるから，$x=1$ で極大値 $f(1)=1$ をとる． したがって $a=2$，$b=0$