極値をもたない定数 a の範囲（B）

$f'(x)=2e^{2x}-4e^x+a$．$t=e^x$ とおくと，$t$ は $t>0$ のすべての値をとり \[ f'(x)=2t^2-4t+a=2(t-1)^2+a-2 \] $t\to\infty$ のとき $f'(x)\to\infty$ であるから，$f'(x)$ がつねに $0$ 以下となることはない． よって，極値をもたない条件は，$t>0$ で $2t^2-4t+a\geqq 0$ がつねに成り立つことである． $t>0$ における最小値は $t=1$ のときの $a-2$ であるから，$a-2\geqq 0$ すなわち $a\geqq 2$ （$a=2$ のとき $f'(x)=2(e^x-1)^2\geqq 0$ で，等号は $x=0$ のみであるから，極値をもたない．）