極値をもたない定数 a の範囲（A）

$f'(x)=a-\dfrac{2x}{1+x^2}$ である．$g(x)=\dfrac{2x}{1+x^2}$ とおくと \[ g'(x)=\frac{2(1+x^2)-2x\cdot 2x}{(1+x^2)^2}=\frac{2(1-x)(1+x)}{(1+x^2)^2} \] $g(x)$ の増減表は次のようになる． \[ \begin{array}{c|ccccc} x & \cdots & -1 & \cdots & 1 & \cdots \\ \hline g'(x) & - & 0 & + & 0 & - \\ \hline g(x) & \searrow & -1 & \nearrow & 1 & \searrow \end{array} \] また，$\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}g(x)=0$ であるから，$g(x)$ は $x=-1$ で最小値 $-1$，$x=1$ で最大値 $1$ をとり，値域は $-1\leqq g(x)\leqq 1$ である． $f(x)$ が極値をもたない条件は，$f'(x)=a-g(x)$ の符号が変わらないことである． $a\geqq 1$ のとき $f'(x)\geqq 0$（等号は $x=1$ のみ），$a\leqq -1$ のとき $f'(x)\leqq 0$（等号は $x=-1$ のみ）で，いずれも極値をもたない． $-1<a<1$ のとき，$g(x)$ は $a$ より大きい値も小さい値もとるから，$f'(x)$ の符号が変わり，極値をもつ． よって $a\leqq -1,\ 1\leqq a$