導関数の符号で増減を調べる（B）

(1) 定義域は $x>0$ である．$f'(x)=2x\log x+x=x(2\log x+1)$ $f'(x)=0$ とすると $\log x=-\dfrac{1}{2}$ より $x=\dfrac{1}{\sqrt{e}}$ $x>0$ であるから，$f'(x)$ の符号は $2\log x+1$ の符号と一致する． よって $0<x\leqq\dfrac{1}{\sqrt{e}}$ で減少し，$x\geqq\dfrac{1}{\sqrt{e}}$ で増加する． (2) $f'(x)=1-\dfrac{2x}{1+x^2}=\dfrac{(x-1)^2}{1+x^2}\geqq 0$ 等号は $x=1$ のときのみ成り立つから，$f(x)$ はすべての実数で増加する．