接線がつくる線分の長さが一定であることの証明（B）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/26
🔁 類題: 接線がつくる線分の長さが一定であることの証明（A） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
曲線 $y=e^x$ 上の点 P における接線と $x$ 軸の交点を T，P から $x$ 軸に下ろした垂線を PH とする．線分 TH の長さは P の位置によらず一定であることを示せ．
$\mathrm{P}(t,\,e^t)$ とすると，$y'=e^x$ より接線は $y-e^t=e^t(x-t)$
$y=0$ とすると $-e^t=e^t(x-t)$ より $x=t-1$．よって $\mathrm{T}(t-1,\,0)$
$\mathrm{H}(t,\,0)$ であるから $\mathrm{TH}=t-(t-1)=1$
よって，TH の長さは P の位置によらず 1 で一定である．
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