接線がつくる線分の長さが一定であることの証明（A）

$\dfrac{dx}{d\theta}=-3\cos^2\theta\sin\theta$，$\dfrac{dy}{d\theta}=3\sin^2\theta\cos\theta$ であり，$0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ より $\dfrac{dx}{d\theta}\neq 0$ であるから \[ \frac{dy}{dx}=\frac{3\sin^2\theta\cos\theta}{-3\cos^2\theta\sin\theta}=-\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=-\tan\theta \] 点 $\mathrm{P}(\cos^3\theta,\,\sin^3\theta)$ における接線は \[ y-\sin^3\theta=-\frac{\sin\theta}{\cos\theta}(x-\cos^3\theta) \] $y=0$ とすると $x=\cos^3\theta+\sin^2\theta\cos\theta=\cos\theta(\cos^2\theta+\sin^2\theta)=\cos\theta$ $x=0$ とすると $y=\sin^3\theta+\sin\theta\cos^2\theta=\sin\theta$ よって $\mathrm{Q}(\cos\theta,\,0)$，$\mathrm{R}(0,\,\sin\theta)$ で \[ \mathrm{QR}=\sqrt{\cos^2\theta+\sin^2\theta}=1 \] となり，P の位置によらず一定である．