点から曲線に引ける接線の本数と存在条件（B）

接点を $(t,\,\log t)\ (t>0)$ とすると，接線は $y=\dfrac{1}{t}(x-t)+\log t$．これが A を通る条件は \[ b=\frac{a}{t}-1+\log t\ \cdots\text{①} \] 接線が引けるための条件は，① を満たす正の数 $t$ が存在することである．$h(t)=\dfrac{a}{t}-1+\log t\ (t>0)$ とおくと \[ h'(t)=-\frac{a}{t^2}+\frac{1}{t}=\frac{t-a}{t^2} \] [1] $a\leqq 0$ のとき，$h'(t)>0$ で $h(t)$ は増加する．$\displaystyle\lim_{t\to\infty}h(t)=\infty$ であり，$a<0$ のとき $\displaystyle\lim_{t\to +0}h(t)=-\infty$，$a=0$ のときも $\displaystyle\lim_{t\to +0}(\log t-1)=-\infty$ であるから，$h(t)$ はすべての実数値をとる．よって，どんな $b$ に対しても接線が引ける． [2] $a>0$ のとき，$0<t<a$ で $h'(t)<0$，$t>a$ で $h'(t)>0$ であるから，$h(t)$ は $t=a$ で最小値 $h(a)=\log a$ をとる．また，$\displaystyle\lim_{t\to\infty}h(t)=\infty$ であるから，$h(t)$ のとりうる値の範囲は $h(t)\geqq\log a$ である．よって，求める条件は $b\geqq\log a$ 以上から，求める条件は「$a\leqq 0$」または「$a>0$ かつ $b\geqq\log a$」