点から曲線に引ける接線の本数と存在条件（A）

接点を $(t,\,e^t)$ とすると，接線は $y=e^t(x-t)+e^t$．これが A を通る条件は \[ b=e^t(a-t+1)\ \cdots\text{①} \] 接線の傾き $e^t$ は $t$ の値が異なれば異なるから，接点が異なれば接線も異なる．よって，接線の本数は ① を満たす実数 $t$ の個数に等しい． $g(t)=e^t(a-t+1)$ とおくと $g'(t)=e^t(a-t)$ であるから，$g(t)$ は $t<a$ で増加し，$t>a$ で減少して，最大値 $g(a)=e^a$ をとる． また，$t<a+1$ のとき $g(t)>0$ である．$t=-s$ とおくと，$t\to -\infty$ のとき $s\to\infty$ で \[ \lim_{t\to -\infty}g(t)=\lim_{s\to\infty}e^{-s}(a+s+1)=\lim_{s\to\infty}\left(\frac{a+1}{e^s}+\frac{s}{e^s}\right)=0 \] さらに，$\displaystyle\lim_{t\to\infty}g(t)=-\infty$ である． $u=g(t)$ のグラフと直線 $u=b$ の共有点の個数を考えて（下図） \begin{itemize} \item $b>e^a$ のとき 0 本 \item $b=e^a$ のとき 1 本（A は曲線上の点） \item $0<b<e^a$ のとき 2 本 \item $b\leqq 0$ のとき 1 本 \end{itemize}