楕円・媒介変数表示の曲線の接線（B）

(1) 両辺を $x$ で微分すると $2x+y+xy'+2yy'=0$ より $(x+2y)y'=-(2x+y)$ 点 $(1,\,2)$ では $5y'=-4$ より $y'=-\dfrac{4}{5}$．よって \[ y-2=-\frac{4}{5}(x-1)\quad\text{すなわち}\quad y=-\frac{4}{5}x+\frac{14}{5} \] (2) $\dfrac{dx}{d\theta}=-2\sin\theta$，$\dfrac{dy}{d\theta}=\cos\theta$ より，$\sin\theta\neq 0$ のとき $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{\cos\theta}{2\sin\theta}$ $\theta=\dfrac{\pi}{3}$ のとき，点は $\left(1,\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$，傾きは $-\dfrac{\frac{1}{2}}{2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}=-\dfrac{1}{2\sqrt{3}}=-\dfrac{\sqrt{3}}{6}$ であるから \[ y-\frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{6}(x-1)\quad\text{すなわち}\quad y=-\frac{\sqrt{3}}{6}x+\frac{2\sqrt{3}}{3} \]