(1+h)^(1/h)→e を使う極限（B）

(1) $-x=h$ とおくと，$x\to 0$ のとき $h\to 0$ で $(1-x)^{\frac{1}{x}}=\left\{(1+h)^{\frac{1}{h}}\right\}^{-1}\to e^{-1}=\dfrac{1}{e}$ (2) $-\dfrac{2}{x}=h$ とおくと，$x\to\infty$ のとき $h\to -0$ で $\left(1-\dfrac{2}{x}\right)^x=\left\{(1+h)^{\frac{1}{h}}\right\}^{-2}\to e^{-2}$ (3) $\dfrac{1}{x}=h$ とおくと，$x\to\infty$ のとき $h\to +0$ で $\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x=(1+h)^{\frac{1}{h}}\to e$，また (1) より $\left(1-\dfrac{1}{x}\right)^x=(1-h)^{\frac{1}{h}}\to e^{-1}$ である． よって $\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right)^x=\dfrac{\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x}{\left(1-\dfrac{1}{x}\right)^x}\to\dfrac{e}{e^{-1}}=e^2$ (4) $\dfrac{e^{3x}-1}{x}=3\cdot\dfrac{e^{3x}-1}{3x}$．$3x=t$ とおくと，$x\to 0$ のとき $t\to 0$ で $\dfrac{e^t-1}{t}\to 1$ であるから，極限は $3$ （$\displaystyle\lim_{t\to 0}\frac{e^t-1}{t}=1$ は，$e^t-1=s$ とおくと $t=\log(1+s)$，$t\to 0$ のとき $s\to 0$ で $\dfrac{e^t-1}{t}=\dfrac{s}{\log(1+s)}=\dfrac{1}{\log(1+s)^{\frac{1}{s}}}\to\dfrac{1}{\log e}=1$ から得られる．）