(1+h)^(1/h)→e を使う極限（A）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/26
🔁 類題: (1+h)^(1/h)→e を使う極限（B） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
$\displaystyle\lim_{h\to 0}(1+h)^{\frac{1}{h}}=e$ を用いて，次の極限を求めよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\displaystyle\lim_{x\to 0}(1+2x)^{\frac{1}{x}}$
\item[(2)] $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{3x}$
\item[(3)] $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\log(1+x)}{x}$
\item[(4)] $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}$
\end{enumerate}
(1) $2x=h$ とおくと，$x\to 0$ のとき $h\to 0$ で $(1+2x)^{\frac{1}{x}}=\left\{(1+h)^{\frac{1}{h}}\right\}^2\to e^2$
(2) $\dfrac{1}{x}=h$ とおくと，$x\to\infty$ のとき $h\to +0$ で $\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{3x}=\left\{(1+h)^{\frac{1}{h}}\right\}^3\to e^3$
(3) $\dfrac{\log(1+x)}{x}=\log(1+x)^{\frac{1}{x}}\to\log e=1$
(4) $e^x-1=t$ とおくと $x=\log(1+t)$ で，$x\to 0$ のとき $t\to 0$．(3) より
\[ \frac{e^x-1}{x}=\frac{t}{\log(1+t)}\to 1 \]
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