つなぎ目で微分可能になる条件（B）

$x=0$ で微分可能ならば連続であるから \[ \lim_{x\to +0}\log(x+1)=f(0)\quad\text{より}\quad 0=a+b\ \cdots\text{①} \] このとき $f(0)=0$ で \[ \lim_{h\to +0}\frac{\log(1+h)}{h}=1,\qquad \lim_{h\to -0}\frac{ae^h+b-(a+b)}{h}=\lim_{h\to -0}a\cdot\frac{e^h-1}{h}=a \] （$\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{e^h-1}{h}=1$ を用いた．） これらが一致するから $a=1$．① より $b=-1$