つなぎ目で微分可能になる条件（A）

$x=1$ で微分可能ならば $x=1$ で連続であるから \[ \lim_{x\to 1+0}\log x=f(1)\quad\text{より}\quad 0=a+b\ \cdots\text{①} \] このとき $f(1)=0$ で，微分係数の右側・左側の極限は \[ \lim_{h\to +0}\frac{\log(1+h)-0}{h}=1 \] \[ \lim_{h\to -0}\frac{a(1+h)^2+b(1+h)-(a+b)}{h}=\lim_{h\to -0}(2a+b+ah)=2a+b \] （$\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\log(1+h)}{h}=1$ を用いた．） これらが一致するから $2a+b=1\ \cdots\text{②}$ ①，② を解いて $a=1$，$b=-1$