|x−1| などの微分可能性（B）

(1) $\displaystyle\lim_{x\to 2}|x^2-4|=0=f(2)$ であるから，$x=2$ で連続である． $x$ が $2$ に近いとき，$x>2$ では $f(x)=x^2-4$，$x<2$ では $f(x)=4-x^2$ であるから \[ \lim_{h\to +0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\lim_{h\to +0}\frac{(2+h)^2-4}{h}=\lim_{h\to +0}(4+h)=4 \] \[ \lim_{h\to -0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\lim_{h\to -0}\frac{4-(2+h)^2}{h}=\lim_{h\to -0}(-4-h)=-4 \] 一致しないから，$x=2$ で微分可能でない（下図）． (2) $x\neq 0$ のとき，$-1\leqq\sin\dfrac{1}{x}\leqq 1$ であるから \[ -x^2\leqq x^2\sin\frac{1}{x}\leqq x^2 \] $\displaystyle\lim_{x\to 0}(-x^2)=\lim_{x\to 0}x^2=0$ であるから，はさみうちの原理により $\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)=0=f(0)$ となる．よって，$x=0$ で連続である． $h\neq 0$ のとき \[ \frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{1}{h}\cdot h^2\sin\frac{1}{h}=h\sin\frac{1}{h} \] であり，$\left|\sin\dfrac{1}{h}\right|\leqq 1$ より $-|h|\leqq h\sin\dfrac{1}{h}\leqq|h|$ である．$\displaystyle\lim_{h\to 0}(-|h|)=\lim_{h\to 0}|h|=0$ であるから，はさみうちの原理により \[ \lim_{h\to 0}\frac{f(h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to 0}h\sin\frac{1}{h}=0 \] よって $f'(0)=0$ が存在し，$x=0$ で微分可能である．