|x−1| などの微分可能性（A）

(1) $\displaystyle\lim_{x\to 1}|x-1|=0=f(1)$ であるから，$x=1$ で連続である． \[ \lim_{h\to +0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim_{h\to +0}\frac{|h|}{h}=1,\qquad \lim_{h\to -0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim_{h\to -0}\frac{|h|}{h}=-1 \] 右側と左側の極限が一致しないから，$f'(1)$ は存在せず，$x=1$ で微分可能でない（グラフが $x=1$ でとがっている．下図）． (2) $\displaystyle\lim_{x\to 0}x|x|=0=f(0)$ であるから，$x=0$ で連続である． \[ \lim_{h\to 0}\frac{f(h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{h|h|}{h}=\lim_{h\to 0}|h|=0 \] よって $f'(0)=0$ が存在し，$x=0$ で微分可能である．