中間値の定理で解の存在を示す（B）

(1) $g(x)=\cos x-x$ は $\left[0,\,\dfrac{\pi}{2}\right]$ で連続で \[ g(0)=1>0,\qquad g\left(\frac{\pi}{2}\right)=-\frac{\pi}{2}<0 \] よって，中間値の定理により，$g(x)=0$ すなわち $\cos x=x$ は $0<x<\dfrac{\pi}{2}$ に少なくとも 1 つの実数解をもつ（下図）． (2) $h(x)=f(x)-x$ とおくと，$h(x)$ は $[0,\,1]$ で連続で \[ h(0)=f(0)\geqq 0,\qquad h(1)=f(1)-1\leqq 0 \] $h(0)=0$ ならば $c=0$，$h(1)=0$ ならば $c=1$ とすればよい． $h(0)>0$ かつ $h(1)<0$ のときは，中間値の定理により $h(c)=0$ となる $c\ (0<c<1)$ が存在する． いずれの場合も $f(c)=c$ となる $c$ が存在する．