中間値の定理で解の存在を示す（A）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/26
🔁 類題: 中間値の定理で解の存在を示す（B） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
次の方程式は，与えられた区間に少なくとも 1 つの実数解をもつことを示せ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $x^3-3x+1=0$ \quad $(0<x<1)$
\item[(2)] $2^x=3x$ \quad $(0<x<1)$
\end{enumerate}
（中間値の定理）関数 $f(x)$ が閉区間 $[a,\,b]$ で連続で，$f(a)$ と $f(b)$ が異符号ならば，方程式 $f(x)=0$ は $a<x<b$ の範囲に少なくとも 1 つの実数解をもつ．
(1) $f(x)=x^3-3x+1$ は $[0,\,1]$ で連続で
\[ f(0)=1>0,\qquad f(1)=-1<0 \]
よって，中間値の定理により，$f(x)=0$ は $0<x<1$ に少なくとも 1 つの実数解をもつ（下図）．
(2) $g(x)=2^x-3x$ は $[0,\,1]$ で連続で
\[ g(0)=1>0,\qquad g(1)=2-3=-1<0 \]
よって，中間値の定理により，$2^x=3x$ は $0<x<1$ に少なくとも 1 つの実数解をもつ．
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