極限で定義された関数が連続になる条件（B）

$|x|<1$ のとき $x^{2n}\to 0$ であるから $f(x)=ax+b$ $|x|>1$ のとき，分母・分子を $x^{2n}$ で割ると \[ f(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{\sin\dfrac{\pi x}{2}+\dfrac{ax+b}{x^{2n}}}{1+\dfrac{1}{x^{2n}}}=\sin\frac{\pi x}{2} \] $x=1$ のとき $f(1)=\dfrac{1+a+b}{2}$，$x=-1$ のとき $f(-1)=\dfrac{-1-a+b}{2}$ $|x|<1$ では $f(x)=ax+b$，$|x|>1$ では $f(x)=\sin\dfrac{\pi x}{2}$ であり，それぞれ連続であるから，$x=\pm 1$ での連続性を調べればよい． $\displaystyle\lim_{x\to 1-0}f(x)=a+b$，$\displaystyle\lim_{x\to 1+0}f(x)=\sin\dfrac{\pi}{2}=1$ であるから，$x=1$ で連続となる条件は $a+b=1$ かつ $f(1)=1$ である．$f(1)=\dfrac{1+a+b}{2}$ であるから，これは $a+b=1$ と同値である． $\displaystyle\lim_{x\to -1+0}f(x)=-a+b$，$\displaystyle\lim_{x\to -1-0}f(x)=\sin\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)=-1$ であるから，$x=-1$ で連続となる条件は $-a+b=-1$ かつ $f(-1)=-1$ である．$f(-1)=\dfrac{-1-a+b}{2}$ であるから，これは $-a+b=-1$ と同値である． これを解いて $a=1$，$b=0$ このとき，$y=f(x)$ のグラフは下図のようになる．