極限で定義された関数が連続になる条件（A）

$|x|<1$ のとき $x^{2n}\to 0$，$x^{2n+1}\to 0$ であるから $f(x)=ax^2+bx$ $|x|>1$ のとき，分母・分子を $x^{2n}$ で割ると \[ f(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{x-1+\dfrac{ax^2+bx}{x^{2n}}}{1+\dfrac{1}{x^{2n}}}=x-1 \] $x=1$ のとき $f(1)=\dfrac{1-1+a+b}{2}=\dfrac{a+b}{2}$ $x=-1$ のとき $f(-1)=\dfrac{-1-1+a-b}{2}=\dfrac{a-b-2}{2}$ $|x|<1$，$|x|>1$ ではそれぞれ多項式であるから連続である．よって，$x=\pm 1$ で連続となる条件を求めればよい． $x=1$ で連続：$\displaystyle\lim_{x\to 1-0}f(x)=a+b$，$\displaystyle\lim_{x\to 1+0}f(x)=0$ であるから，$a+b=0=\dfrac{a+b}{2}$ より $a+b=0$ $x=-1$ で連続：$\displaystyle\lim_{x\to -1+0}f(x)=a-b$，$\displaystyle\lim_{x\to -1-0}f(x)=-2$ であるから，$a-b=-2=\dfrac{a-b-2}{2}$ より $a-b=-2$ これを解いて $a=-1$，$b=1$ このとき，$y=f(x)$ のグラフは下図のようになる．