無限級数で定義された関数の不連続点（B）

初項 $x$，公比 $1-x^2$ の無限等比級数である． $x=0$ のとき，すべての項が $0$ であるから収束し，$f(0)=0$ $x\neq 0$ のとき，初項 $x$ は $0$ でないから，収束する条件は $|1-x^2|<1$ すなわち $0<x^2<2$ で，$x\neq 0$ と合わせて $-\sqrt{2}<x<0,\ 0<x<\sqrt{2}$．このとき \[ f(x)=\frac{x}{1-(1-x^2)}=\frac{1}{x} \] よって，収束する範囲は $-\sqrt{2}<x<\sqrt{2}$ で \[ f(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{x} & (x\neq 0)\\ 0 & (x=0)\end{cases} \] $-\sqrt{2}<x<0$，$0<x<\sqrt{2}$ では $f(x)=\dfrac{1}{x}$ であるから連続である．$\displaystyle\lim_{x\to +0}f(x)=\infty$ であるから，$x=0$ で不連続である（下図）．