無限級数で定義された関数の不連続点（A）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/26
🔁 類題: 無限級数で定義された関数の不連続点（B） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
無限級数
\[ f(x)=x^2+\frac{x^2}{1+x^2}+\frac{x^2}{(1+x^2)^2}+\cdots+\frac{x^2}{(1+x^2)^{n-1}}+\cdots \]
について，次の問いに答えよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] この級数はすべての実数 $x$ について収束することを示し，和 $f(x)$ を求めよ．
\item[(2)] 関数 $y=f(x)$ のグラフをかき，その連続性を調べよ．
\end{enumerate}
(1) 初項 $x^2$，公比 $\dfrac{1}{1+x^2}$ の無限等比級数である．
$x=0$ のとき，すべての項が $0$ であるから収束し，$f(0)=0$
$x\neq 0$ のとき，$0<\dfrac{1}{1+x^2}<1$ であるから収束し
\[ f(x)=\frac{x^2}{1-\dfrac{1}{1+x^2}}=\frac{x^2(1+x^2)}{x^2}=1+x^2 \]
以上から，この級数はすべての実数 $x$ について収束する．
(2) グラフは下図のようになる．$\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)=1\neq 0=f(0)$ であるから，$f(x)$ は $x=0$ で不連続である．また，$x<0$，$0<x$ では $f(x)=1+x^2$ であるから，$f(x)$ は $x\neq 0$ で連続である．
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