ガウス記号・場合分け関数の連続性（B）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/26
🔁 類題: ガウス記号・場合分け関数の連続性（A） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
次の関数 $f(x)$ は，指定された点で連続であるか調べよ．ただし，$[x]$ は $x$ を超えない最大の整数を表す．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $f(x)=\begin{cases}\dfrac{|x|}{x} & (x\neq 0)\\ 0 & (x=0)\end{cases}$ \quad （$x=0$）
\item[(2)] $f(x)=\begin{cases}\dfrac{\sin x}{x} & (x\neq 0)\\ 1 & (x=0)\end{cases}$ \quad （$x=0$）
\item[(3)] $f(x)=x-[x]$ \quad （$x=2$）
\end{enumerate}
(1) $x>0$ のとき $f(x)=\dfrac{x}{x}=1$，$x<0$ のとき $f(x)=\dfrac{-x}{x}=-1$ であるから，$\displaystyle\lim_{x\to +0}f(x)=1$，$\displaystyle\lim_{x\to -0}f(x)=-1$ で一致しないから，$x=0$ で不連続である．
(2) $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1=f(0)$ であるから，$x=0$ で連続である．
(3) $2\leqq x<3$ のとき $f(x)=x-2$，$1\leqq x<2$ のとき $f(x)=x-1$ であるから
\[ \lim_{x\to 2+0}f(x)=0,\qquad \lim_{x\to 2-0}f(x)=1 \]
一致しないから，$x=2$ で不連続である（下図）．
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