ガウス記号・場合分け関数の連続性（A）

$f(x)$ が $x=a$ で連続であるとは，$\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$ が成り立つことである． (1) $x\neq 1$ のとき $f(x)=x+1$ であるから $\displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)=2=f(1)$．よって連続である． (2) $1\leqq x<2$ のとき $[x]=1$，$0\leqq x<1$ のとき $[x]=0$ であるから，$\displaystyle\lim_{x\to 1+0}[x]=1$，$\displaystyle\lim_{x\to 1-0}[x]=0$ であり，$\displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)$ は存在しない．よって不連続である． (3) $x\neq 0$ のとき $\left|\sin\dfrac{1}{x}\right|\leqq 1$ であるから $0\leqq\left|x\sin\dfrac{1}{x}\right|\leqq|x|$ $\displaystyle\lim_{x\to 0}|x|=0$ であるから，はさみうちの原理により $\displaystyle\lim_{x\to 0}\left|x\sin\dfrac{1}{x}\right|=0$ ゆえに $\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)=0=f(0)$．よって連続である．