図形の長さ・面積と sinθ/θ の極限（B）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/26
🔁 類題: 図形の長さ・面積と sinθ/θ の極限（A） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
$n$ は 3 以上の整数とする．半径 $r$ の円に内接する正 $n$ 角形の周の長さを $L_n$，面積を $S_n$ とする．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $L_n$，$S_n$ を $r$，$n$ を用いて表せ．
\item[(2)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}L_n$，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n$ を求めよ．
\end{enumerate}
(1) 円の中心を O とすると，正 $n$ 角形は，頂角 $\dfrac{2\pi}{n}$，等辺 $r$ の二等辺三角形 $n$ 個に分けられる（下図）．
二等辺三角形の頂点 O から底辺に下ろした垂線は頂角と底辺をそれぞれ 2 等分するから，1 辺の長さは $2r\sin\dfrac{\pi}{n}$ である．よって $L_n=2nr\sin\dfrac{\pi}{n}$
1 個の三角形の面積は $\dfrac{1}{2}r^2\sin\dfrac{2\pi}{n}$ であるから $S_n=\dfrac{n}{2}r^2\sin\dfrac{2\pi}{n}$
(2) $\dfrac{\pi}{n}=\theta$ とおくと，$n\to\infty$ のとき $\theta\to +0$ で
\[ L_n=2\pi r\cdot\frac{\sin\theta}{\theta}\to 2\pi r,\qquad S_n=\pi r^2\cdot\frac{\sin 2\theta}{2\theta}\to\pi r^2 \]
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