図形の長さ・面積と sinθ/θ の極限（A）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/26
🔁 類題: 図形の長さ・面積と sinθ/θ の極限（B） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
半径 1，中心角 $\theta\left(0<\theta<\dfrac{\pi}{2}\right)$ の扇形 OAB がある．点 B から半径 OA に垂線 BH を下ろす（下図）．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\displaystyle\lim_{\theta\to +0}\frac{\mathrm{BH}}{\widehat{\mathrm{AB}}}$ を求めよ．ただし，$\widehat{\mathrm{AB}}$ は弧 AB の長さを表す．
\item[(2)] $\displaystyle\lim_{\theta\to +0}\frac{\mathrm{AH}}{(\widehat{\mathrm{AB}})^2}$ を求めよ．
\end{enumerate}
$\mathrm{BH}=\sin\theta$，$\mathrm{OH}=\cos\theta$，$\mathrm{AH}=1-\cos\theta$，$\widehat{\mathrm{AB}}=\theta$ である．
(1) $\dfrac{\mathrm{BH}}{\widehat{\mathrm{AB}}}=\dfrac{\sin\theta}{\theta}$ であるから
\[ \lim_{\theta\to +0}\frac{\mathrm{BH}}{\widehat{\mathrm{AB}}}=\lim_{\theta\to +0}\frac{\sin\theta}{\theta}=1 \]
(2) $\dfrac{\mathrm{AH}}{(\widehat{\mathrm{AB}})^2}=\dfrac{1-\cos\theta}{\theta^2}$ であり，分母・分子に $1+\cos\theta$ を掛けると
\[ \frac{1-\cos\theta}{\theta^2}=\frac{1-\cos^2\theta}{\theta^2(1+\cos\theta)}=\left(\frac{\sin\theta}{\theta}\right)^2\cdot\frac{1}{1+\cos\theta} \]
よって
\[ \lim_{\theta\to +0}\frac{\mathrm{AH}}{(\widehat{\mathrm{AB}})^2}=1^2\cdot\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2} \]
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