置き換えてから sinx/x を使う極限（B）

(1) $x-1=t$ とおくと，$x\to 1$ のとき $t\to 0$ で，$\sin\pi x=\sin(\pi t+\pi)=-\sin\pi t$ であるから \[ \lim_{t\to 0}\frac{-\sin\pi t}{t}=\lim_{t\to 0}(-\pi)\cdot\frac{\sin\pi t}{\pi t}=-\pi \] (2) $\dfrac{1}{x}=t$ とおくと，$x\to\infty$ のとき $t\to +0$ で，分母・分子に $1+\cos t$ を掛けると \[ x^2\left(1-\cos\frac{1}{x}\right)=\frac{1-\cos t}{t^2}=\frac{1-\cos^2 t}{t^2(1+\cos t)}=\left(\frac{\sin t}{t}\right)^2\cdot\frac{1}{1+\cos t}\to\frac{1}{2} \] (3) $\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)$ である．$x-\dfrac{\pi}{4}=t$ とおくと，$x\to\dfrac{\pi}{4}$ のとき $t\to 0$ で \[ \lim_{t\to 0}\frac{\sqrt{2}\sin t}{t}=\sqrt{2} \] (4) $\dfrac{1-\cos x}{x\sin x}=\dfrac{1-\cos^2 x}{x\sin x(1+\cos x)}=\dfrac{\sin x}{x}\cdot\dfrac{1}{1+\cos x}\to\dfrac{1}{2}$