置き換えてから sinx/x を使う極限（A）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/26
🔁 類題: 置き換えてから sinx/x を使う極限（B） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
次の極限を求めよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\displaystyle\lim_{x\to\pi}\frac{\sin x}{x-\pi}$
\item[(2)] $\displaystyle\lim_{x\to\infty}x\sin\frac{1}{x}$
\item[(3)] $\displaystyle\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\cos x}{x-\frac{\pi}{2}}$
\item[(4)] $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin 2x-\sin x}{x}$
\end{enumerate}
(1) $x-\pi=t$ とおくと，$x\to\pi$ のとき $t\to 0$ で，$\sin x=\sin(t+\pi)=-\sin t$ であるから
\[ \lim_{t\to 0}\frac{-\sin t}{t}=-1 \]
(2) $\dfrac{1}{x}=t$ とおくと，$x\to\infty$ のとき $t\to +0$ で，$x\sin\dfrac{1}{x}=\dfrac{\sin t}{t}$ であるから
\[ \lim_{x\to\infty}x\sin\frac{1}{x}=\lim_{t\to +0}\frac{\sin t}{t}=1 \]
(3) $x-\dfrac{\pi}{2}=t$ とおくと，$x\to\dfrac{\pi}{2}$ のとき $t\to 0$ で，$\cos x=\cos\left(t+\dfrac{\pi}{2}\right)=-\sin t$ であるから
\[ \lim_{t\to 0}\frac{-\sin t}{t}=-1 \]
(4) $\dfrac{\sin 2x-\sin x}{x}=2\cdot\dfrac{\sin 2x}{2x}-\dfrac{\sin x}{x}\to 2-1=1$
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