sinx/x→1 を使う極限（B）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/26
🔁 類題: sinx/x→1 を使う極限（A） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
次の極限を求めよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin\frac{x}{3}}{x}$
\item[(2)] $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x\sin x}{1-\cos x}$
\item[(3)] $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos 2x}{x^2}$
\item[(4)] $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x^2}{x\tan x}$
\end{enumerate}
(1) $\dfrac{\sin\frac{x}{3}}{x}=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{\sin\frac{x}{3}}{\frac{x}{3}}\to\dfrac{1}{3}$
(2) 分母・分子に $1+\cos x$ を掛けると
\[ \frac{x\sin x(1+\cos x)}{1-\cos^2 x}=\frac{x\sin x(1+\cos x)}{\sin^2 x}=\frac{x}{\sin x}(1+\cos x)\to 1\cdot 2=2 \]
(3) $1-\cos 2x=2\sin^2 x$ であるから $\dfrac{1-\cos 2x}{x^2}=2\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)^2\to 2$
(4) $\dfrac{\sin x^2}{x\tan x}=\dfrac{\sin x^2}{x^2}\cdot\dfrac{x}{\sin x}\cdot\cos x\to 1\cdot 1\cdot 1=1$
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