sinx/x→1 を使う極限（A）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/26
🔁 類題: sinx/x→1 を使う極限（B） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
次の極限を求めよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{x}$
\item[(2)] $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin 5x}{\sin 2x}$
\item[(3)] $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}$
\item[(4)] $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\tan 2x}{x}$
\end{enumerate}
$\displaystyle\lim_{\theta\to 0}\frac{\sin\theta}{\theta}=1$ を用いる．
(1) $\dfrac{\sin 3x}{x}=3\cdot\dfrac{\sin 3x}{3x}\to 3\cdot 1=3$
(2) $\dfrac{\sin 5x}{\sin 2x}=\dfrac{5}{2}\cdot\dfrac{\sin 5x}{5x}\cdot\dfrac{2x}{\sin 2x}\to\dfrac{5}{2}$
(3) $\dfrac{1-\cos x}{x^2}=\dfrac{1-\cos^2 x}{x^2(1+\cos x)}=\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)^2\cdot\dfrac{1}{1+\cos x}\to 1\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$
(4) $\dfrac{\tan 2x}{x}=2\cdot\dfrac{\sin 2x}{2x}\cdot\dfrac{1}{\cos 2x}\to 2\cdot 1\cdot 1=2$
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