はさみうちによる関数の極限（B）

(1) $[x]$ の定義より $x-1<[x]\leqq x$．$x>0$ のとき各辺を $x$ で割って \[ 1-\frac{1}{x}<\frac{[x]}{x}\leqq 1 \] $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)=1$ であるから，はさみうちの原理より $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{[x]}{x}=1$ (2) $x\neq 0$ のとき $\left|\cos\dfrac{1}{x}\right|\leqq 1$ であるから $-x^2\leqq x^2\cos\dfrac{1}{x}\leqq x^2$ $\displaystyle\lim_{x\to 0}(-x^2)=\lim_{x\to 0}x^2=0$ であるから，はさみうちの原理より $\displaystyle\lim_{x\to 0}x^2\cos\frac{1}{x}=0$