はさみうちによる関数の極限（A）

(1) $x\neq 0$ のとき $\left|\sin\dfrac{1}{x}\right|\leqq 1$ であるから \[ 0\leqq\left|x\sin\frac{1}{x}\right|\leqq|x| \] $\displaystyle\lim_{x\to 0}|x|=0$ であるから，はさみうちの原理より $\displaystyle\lim_{x\to 0}\left|x\sin\frac{1}{x}\right|=0$ よって $\displaystyle\lim_{x\to 0}x\sin\frac{1}{x}=0$（下図） (2) $x>0$ のとき $-1\leqq\sin x\leqq 1$ より $-\dfrac{1}{x}\leqq\dfrac{\sin x}{x}\leqq\dfrac{1}{x}$ $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\pm\frac{1}{x}\right)=0$ であるから，はさみうちの原理より $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x}=0$