指数関数・対数関数を含む極限（B）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/26
🔁 類題: 指数関数・対数関数を含む極限（A） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
次の極限を求めよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{2^{x+1}+1}{2^x-1}$
\item[(2)] $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\frac{2^{x+1}+1}{2^x-1}$
\item[(3)] $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\log_2\frac{4x+1}{x+3}$
\item[(4)] $\displaystyle\lim_{x\to +0}\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{x}}$，$\displaystyle\lim_{x\to -0}\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{x}}$
\end{enumerate}
(1) 分母・分子を $2^x$ で割ると $\dfrac{2+2^{-x}}{1-2^{-x}}$．$x\to\infty$ のとき $2^{-x}\to 0$ であるから，極限は $2$
(2) $x\to -\infty$ のとき $2^x\to 0$，$2^{x+1}\to 0$ であるから，極限は $\dfrac{0+1}{0-1}=-1$
(3) $\dfrac{4x+1}{x+3}=\dfrac{4+\dfrac{1}{x}}{1+\dfrac{3}{x}}\to 4$ であるから，極限は $\log_2 4=2$
(4) $x\to +0$ のとき $\dfrac{1}{x}\to\infty$ であるから $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{1}{x}}\to 0$
$x\to -0$ のとき $\dfrac{1}{x}\to -\infty$ であるから $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{1}{x}}=2^{-\frac{1}{x}}\to\infty$
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