指数関数・対数関数を含む極限（A）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/26
🔁 類題: 指数関数・対数関数を含む極限（B） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
次の極限を求めよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{3^x-2^x}{3^x+2^x}$
\item[(2)] $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\frac{3^x-2^x}{3^x+2^x}$
\item[(3)] $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\{\log_2(x+1)-\log_2 x\}$
\item[(4)] $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\{\log_3(9x^2+1)-2\log_3 x\}$
\end{enumerate}
(1) 分母・分子を $3^x$ で割ると $\dfrac{1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^x}{1+\left(\dfrac{2}{3}\right)^x}$．$x\to\infty$ のとき $\left(\dfrac{2}{3}\right)^x\to 0$ であるから，極限は $1$
(2) 分母・分子を $2^x$ で割ると $\dfrac{\left(\dfrac{3}{2}\right)^x-1}{\left(\dfrac{3}{2}\right)^x+1}$．$x\to -\infty$ のとき $\left(\dfrac{3}{2}\right)^x\to 0$ であるから，極限は $-1$
(3) $\log_2(x+1)-\log_2 x=\log_2\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\to\log_2 1=0$
(4) $\log_3(9x^2+1)-\log_3 x^2=\log_3\left(9+\dfrac{1}{x^2}\right)\to\log_3 9=2$
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