x→∞ での多項式・無理式の極限（B）

(1) $x=-t$ とおくと，$x\to -\infty$ のとき $t\to\infty$ で \[ \frac{3x+1}{\sqrt{x^2+1}}=\frac{-3t+1}{\sqrt{t^2+1}}=\frac{-3+\dfrac{1}{t}}{\sqrt{1+\dfrac{1}{t^2}}}\to -3 \] （$x<0$ のとき $\sqrt{x^2}=-x$ であることに注意する．） (2) $\sqrt{x^2+4x}-x=\dfrac{4x}{\sqrt{x^2+4x}+x}=\dfrac{4}{\sqrt{1+\dfrac{4}{x}}+1}\to 2$ (3) $x=-t$ とおくと，$x\to -\infty$ のとき $t\to\infty$ で \[ \sqrt{x^2-2x}+x=\sqrt{t^2+2t}-t=\frac{2t}{\sqrt{t^2+2t}+t}=\frac{2}{\sqrt{1+\dfrac{2}{t}}+1}\to 1 \] (4) $x-x^3=x^3\left(\dfrac{1}{x^2}-1\right)$ で，$x^3\to\infty$，$\dfrac{1}{x^2}-1\to -1$ であるから $-\infty$