x→∞ での多項式・無理式の極限（A）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/26
🔁 類題: x→∞ での多項式・無理式の極限（B） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
次の極限を求めよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{2x^2-1}{x^2+3x}$
\item[(2)] $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)$
\item[(3)] $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\left(\sqrt{x^2+x}+x\right)$
\item[(4)] $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}(x^3+2x)$
\end{enumerate}
(1) 分母・分子を $x^2$ で割ると $\dfrac{2-\dfrac{1}{x^2}}{1+\dfrac{3}{x}}\to 2$
(2) $\sqrt{x^2+x}-x=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}=\dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}+1}\to\dfrac{1}{2}$
(3) $x=-t$ とおくと，$x\to -\infty$ のとき $t\to\infty$ で
\[ \sqrt{x^2+x}+x=\sqrt{t^2-t}-t=\frac{-t}{\sqrt{t^2-t}+t}=\frac{-1}{\sqrt{1-\dfrac{1}{t}}+1}\to -\frac{1}{2} \]
(4) $x^3+2x=x^3\left(1+\dfrac{2}{x^2}\right)$ で，$x^3\to -\infty$，$1+\dfrac{2}{x^2}\to 1$ であるから $-\infty$
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