右側極限と左側極限（B）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/26
🔁 類題: 右側極限と左側極限（A） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
次の極限を調べよ．ただし，$[x]$ は $x$ を超えない最大の整数を表す．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\displaystyle\lim_{x\to -2+0}\frac{x}{x+2}$，$\displaystyle\lim_{x\to -2-0}\frac{x}{x+2}$
\item[(2)] $\displaystyle\lim_{x\to 3+0}[x]$，$\displaystyle\lim_{x\to 3-0}[x]$．また，$\displaystyle\lim_{x\to 3}[x]$ は存在するか．
\end{enumerate}
(1) $x\to -2$ のとき分子 $x\to -2$ である．
$x\to -2+0$ のとき $x+2\to +0$ であるから $\displaystyle\lim_{x\to -2+0}\frac{x}{x+2}=-\infty$
$x\to -2-0$ のとき $x+2\to -0$ であるから $\displaystyle\lim_{x\to -2-0}\frac{x}{x+2}=\infty$
(2) $3\leqq x<4$ のとき $[x]=3$，$2\leqq x<3$ のとき $[x]=2$ であるから
\[ \lim_{x\to 3+0}[x]=3,\qquad \lim_{x\to 3-0}[x]=2 \]
一致しないから，$\displaystyle\lim_{x\to 3}[x]$ は存在しない（下図）．
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