右側極限と左側極限（A）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/26
🔁 類題: 右側極限と左側極限（B） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
次の極限を調べよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\displaystyle\lim_{x\to 1+0}\frac{1}{x-1}$，$\displaystyle\lim_{x\to 1-0}\frac{1}{x-1}$
\item[(2)] $\displaystyle\lim_{x\to +0}\frac{|x|}{x}$，$\displaystyle\lim_{x\to -0}\frac{|x|}{x}$．また，$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{|x|}{x}$ は存在するか．
\end{enumerate}
(1) $x\to 1+0$ のとき $x-1\to +0$ であるから $\displaystyle\lim_{x\to 1+0}\frac{1}{x-1}=\infty$
$x\to 1-0$ のとき $x-1\to -0$ であるから $\displaystyle\lim_{x\to 1-0}\frac{1}{x-1}=-\infty$
(2) $x>0$ のとき $\dfrac{|x|}{x}=1$，$x<0$ のとき $\dfrac{|x|}{x}=-1$ であるから
\[ \lim_{x\to +0}\frac{|x|}{x}=1,\qquad \lim_{x\to -0}\frac{|x|}{x}=-1 \]
右側極限と左側極限が一致しないから，$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{|x|}{x}$ は存在しない（下図）．
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