約分・有理化で求める関数の極限（B）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/26
🔁 類題: 約分・有理化で求める関数の極限（A） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
次の極限を求めよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\displaystyle\lim_{x\to -1}\frac{x^2+3x+2}{x^2-1}$
\item[(2)] $\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{x^3-8}{x-2}$
\item[(3)] $\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}$
\item[(4)] $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}$
\end{enumerate}
(1) $\dfrac{x^2+3x+2}{x^2-1}=\dfrac{(x+1)(x+2)}{(x+1)(x-1)}=\dfrac{x+2}{x-1}$ であるから，極限は $\dfrac{1}{-2}=-\dfrac{1}{2}$
(2) $\dfrac{x^3-8}{x-2}=\dfrac{(x-2)(x^2+2x+4)}{x-2}=x^2+2x+4$ であるから，極限は $12$
(3) 分子を有理化すると $\dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}=\dfrac{(x+3)-4}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)}=\dfrac{1}{\sqrt{x+3}+2}$ であるから，極限は $\dfrac{1}{4}$
(4) 分子を有理化すると $\dfrac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}=\dfrac{(1+x)-(1-x)}{x(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}=\dfrac{2}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}$ であるから，極限は $\dfrac{2}{2}=1$
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