約分・有理化で求める関数の極限（A）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/26
🔁 類題: 約分・有理化で求める関数の極限（B） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
次の極限を求めよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}$
\item[(2)] $\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{x^3-1}{x^2-1}$
\item[(3)] $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}$
\item[(4)] $\displaystyle\lim_{x\to 3}\frac{1}{x-3}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{3}\right)$
\end{enumerate}
(1) $\dfrac{x^2-4}{x-2}=\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$ であるから，極限は $4$
(2) $\dfrac{x^3-1}{x^2-1}=\dfrac{(x-1)(x^2+x+1)}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{x^2+x+1}{x+1}$ であるから，極限は $\dfrac{3}{2}$
(3) 分子を有理化すると $\dfrac{\sqrt{x+4}-2}{x}=\dfrac{(x+4)-4}{x(\sqrt{x+4}+2)}=\dfrac{1}{\sqrt{x+4}+2}$
よって，極限は $\dfrac{1}{2+2}=\dfrac{1}{4}$
(4) $\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{3-x}{3x}$ であるから $\dfrac{1}{x-3}\left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{1}{x-3}\cdot\dfrac{-(x-3)}{3x}=-\dfrac{1}{3x}$
よって，極限は $-\dfrac{1}{9}$
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