複素数の累乗でつくる無限級数（B）

(1) $w_n$ は $n+1$ 回目の移動を表す複素数で，1 回目は実軸の正の向きに 1 進むから　$w_0=1$ $\alpha=\dfrac{1}{2}\left(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)$ とおく．0 でない複素数に $\alpha$ を掛けることは，その複素数を表す点を，原点を中心に $\dfrac{\pi}{3}$ だけ回転し，原点からの距離を $\dfrac{1}{2}$ 倍することである． $n+2$ 回目の移動は，$n+1$ 回目の移動の向きを $\dfrac{\pi}{3}$ だけ回転し，距離を $\dfrac{1}{2}$ 倍したものであるから \[ w_{n+1}=\alpha w_n\quad(n=0,\,1,\,2,\,\cdots) \] よって，数列 $\{w_n\}$ は初項 $1$，公比 $\alpha$ の等比数列であるから　$w_n=\alpha^n$ ド・モアブルの定理により \[ w_n=\left(\frac{1}{2}\right)^n\left(\cos\frac{n\pi}{3}+i\sin\frac{n\pi}{3}\right) \] (2) $\alpha\neq 1$ であるから，(1) より \[ z_n=z_0+\sum_{k=0}^{n-1}w_k=\sum_{k=0}^{n-1}\alpha^k=\frac{1-\alpha^n}{1-\alpha} \] ここで，$\alpha=\dfrac{1}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}i$ であるから　$1-\alpha=\dfrac{3}{4}-\dfrac{\sqrt{3}}{4}i$ $\beta=\dfrac{1}{1-\alpha}$ とおくと \[ \beta=\frac{4}{3-\sqrt{3}\,i}=\frac{4(3+\sqrt{3}\,i)}{(3-\sqrt{3}\,i)(3+\sqrt{3}\,i)}=\frac{4(3+\sqrt{3}\,i)}{12}=1+\frac{\sqrt{3}}{3}i \] また　$|1-\alpha|=\sqrt{\left(\dfrac{3}{4}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{4}\right)^2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ よって \[ |z_n-\beta|=\left|\frac{-\alpha^n}{1-\alpha}\right|=\frac{|\alpha|^n}{|1-\alpha|}=\frac{2}{\sqrt{3}}\left(\frac{1}{2}\right)^n \] $n\to\infty$ のとき $\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\to 0$ であるから，2 点 $z_n$，$\beta$ の距離は 0 に近づく． したがって，点 P が近づいていく点を表す複素数は　$1+\dfrac{\sqrt{3}}{3}i$