複素数の累乗でつくる無限級数（A）

(1) $|z|=\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ であるから　$z=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)$ (2) $z\neq 1$ であるから　$S_n=\dfrac{1-z^n}{1-z}$ $\beta=\dfrac{1}{1-z}$ とおくと \[ \beta=\frac{2}{1-i}=\frac{2(1+i)}{(1-i)(1+i)}=1+i \] また，$|1-z|=\left|\dfrac{1-i}{2}\right|=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ であるから \[ |S_n-\beta|=\left|\frac{-z^n}{1-z}\right|=\frac{|z|^n}{|1-z|}=\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^n \] $n\to\infty$ のとき $\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^n\to 0$ であるから，2 点 $S_n$，$\beta$ の距離は 0 に近づく． したがって，点 $S_n$ が限りなく近づく点を表す複素数は　$1+i$ (3) ド・モアブルの定理より　$z^k=\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^k\left(\cos\dfrac{k\pi}{4}+i\sin\dfrac{k\pi}{4}\right)$ よって，$S_n$ の実部を $A_n$，虚部を $B_n$ とすると \[ A_n=\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^k\cos\frac{k\pi}{4},\qquad B_n=\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^k\sin\frac{k\pi}{4} \] $S_n-\beta=(A_n-1)+(B_n-1)i$ であるから \[ |A_n-1|\leqq|S_n-\beta|,\qquad |B_n-1|\leqq|S_n-\beta| \] (2) より $|S_n-\beta|\to 0\ (n\to\infty)$ であるから，はさみうちの原理により　$\displaystyle\lim_{n\to\infty}A_n=1$，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}B_n=1$ したがって \[ \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^n\cos\frac{n\pi}{4}=1,\qquad \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^n\sin\frac{n\pi}{4}=1 \]