1+1/2+1/3+… が無限大になることの証明（B）

(1) $x=\dfrac{1}{k}$ とすると $\log\left(1+\dfrac{1}{k}\right)<\dfrac{1}{k}$ すなわち $\log(k+1)-\log k<\dfrac{1}{k}$ $k=1,\,2,\,\cdots,\,n$ について辺々加えると \[ \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}>\sum_{k=1}^{n}\{\log(k+1)-\log k\}=\log(n+1)-\log 1=\log(n+1) \] (2) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\log(n+1)=\infty$ であるから，(1) より $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\to\infty$ となり，$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ は発散する． また $\dfrac{1}{2k-1}>\dfrac{1}{2k}$ であるから \[ \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2k-1}>\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}>\frac{1}{2}\log(n+1)\to\infty \] よって $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n-1}$ も発散する．