1+1/2+1/3+… が無限大になることの証明（A）

(1) 項を次のように区切る． \[ S_{2^m}=1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{8}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{2^{m-1}+1}+\cdots+\frac{1}{2^m}\right) \] $k=1,\,2,\,\cdots,\,m-1$ に対して，$k$ 番目の括弧には $2^k$ 個の項があり，各項は $\dfrac{1}{2^{k+1}}$ 以上であるから \[ \frac{1}{2^k+1}+\cdots+\frac{1}{2^{k+1}}\geqq 2^k\cdot\frac{1}{2^{k+1}}=\frac{1}{2} \] よって $S_{2^m}\geqq 1+\dfrac{1}{2}+\underbrace{\dfrac{1}{2}+\cdots+\dfrac{1}{2}}_{m-1\text{ 個}}=1+\dfrac{m}{2}$ (2) $n\geqq 2$ のとき，$2^m\leqq n<2^{m+1}$ を満たす自然数 $m$ をとる．$\{S_n\}$ は増加数列であるから，(1) より \[ S_n\geqq S_{2^m}\geqq 1+\frac{m}{2} \] $n\to\infty$ のとき $m\to\infty$ であるから $1+\dfrac{m}{2}\to\infty$ よって $\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n=\infty$ となり，級数は発散する．